Математикадан аудандық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

Трапецияға шеңбер іштей сызуға болады. Оның бүйір жақтарында салынғын шеңберлер,диаметрлердегідей бір-біріне тиетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По условию в трапецию $ABCD$ вписана окружность. Из этого следует, что $AB+CD=BC+AD$.Пусть $M_1, M_2$-середины отрезков $AB$и $CD$ соответственно. Значит, $M_1M_2$-средняя линия по построению

$$R_1+R_2=M_1B+M_2C=\dfrac {AB}{2}+\dfrac {CD }{2}=\dfrac {BC+AD}{2}=M_1M_2.$$

То есть, расстояние от центров окружности равно сумме радиусов. А это и есть условие касание окружностей.