Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Найти все пары натуральных чисел $(x,\ y)$ таких, что $2^x+3^y$ является точным квадратом.

Комментарий/решение

2^x+3^y=a²

a²≡0,1 (mod3)

2^x≡1(mod3)

x=2k

k≠0

a²-2^2k=3^y

(a-2^k)(a+2^k)=3^y

Эти двух чисел не может быть одновремменно степени тройки.

Значит,

a-2^k=1

a+2^k=3^y

Уменьшим их

Тогда 2^к+1=3^y-1

3^y-2^k+1=1

Это может только

3^y=9

2^k+1=8

y=2

k=2

x=4

Ответ (x,y)=(4,2)

Nurik, ваше решение по видимости правильное

но для полной строгости я бы добавил доказательство того, что из разложения $$(a-2^k)(a+2^k)=3^y$$ следует утверждение "Эти два числа не могут быть одновременно степени тройки. ". Как я вижу, тут нужно пройтись по остаткам $\mod 3$ каждого из множителей

Если бы одно из них делились бы на 3, то тогда $2^k*2$ тоже делились бы на 3, что невозможно

Ответ:$(x;y)=(4;2)$

$2^x+3^y=n^2$

Заметим что $n^2 \equiv 1 \pmod {3}$ , так как $2^x$ не делится на $3$ . Значит $2^x \equiv 1 \pmod {3}$ $\Rightarrow$ $x=2a$

Теперь , когда знаем что $x=2a$ применим $\pmod {4}$ и поймём , что если $y$ не делится на 2 , значит $y \equiv 1, 3 \pmod {4}$ , что невозможно $(0+3≠n^2)$ ,значит $ 2 \mid y$. т.е.

$y=2b$

$3^{2b}=(n-2^a)(n+2^a) $

Рассмотрим все варианты, когда $n \equiv 1,2 \pmod {3}$ и $2^a \equiv 1,2 \pmod {3}$

$1.(1-1)(1+1)$

$2.(1-2)(1+2)$

$3.(2-1)(2+1)$

$4.(2-2)(2+2)$

Поймём , что $3^{2b}$ не может содержать делителей оставляющие при делении на $3$ остаток $1$ или $2$ , кроме числа $1$ . То есть одна скобка равна единице(либо обе скобки давали бы какую то степень 3, но тут нет случаев , где обе скобки одновременно делятся на 3). Возможен только $3$ вариант, т.к. $(2+2)$ хоть и сравним с $1 \ \ \ \pmod{3}$ , при натуральных числах получить единицу тут нереально. А $1,2$ варианты оставляют остаток $2$

$3^{2b}=(n-2^a)(n+2^a)=1(n+2^a)$ $\Rightarrow$ $2^a+1=n$

$3^{2b}=2^a+2^a+1=2^{a+1}+1$

$2^{a+1}=(3^b-1)(3^b+1)$

Эти числа расположены через одно число . Посмотрим степени $2$

$1,2,4,8,16....$ если учесть , что $2^{a+1}$ не содержит делителей кроме степеней двоек , то только $2$ и $4$ расположены через одно число . Значит

$(3^b-1)=2$

$(3^b+1)=4$ $b=1$ $\Rightarrow$ $y=2$

$2^{a+1}=8$ $\Rightarrow$ $a=2$ $\Rightarrow$ $x=4$ задача решена.

Рассмотрим мод 3 тогда понятно что x-четный и если также проверить мод 4 тогда можно понять что y-четный. Тогда выходит:

$2^{2n}+3^{2m}=a^2$

$(a-2^n)(a+2^n)=3^{2m}$

$a-2^n=1$

$a^2=2^{2x}+2^{x+1}+1$

$2^{x+1}+1=3^{2y}$

$3^{2y}-2^{x+1}=1$

Отсюда x,y=4,2