Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство $5(a^4+b^4+c^4)+9\geq 8 (a^3+b^3+c^3).$

Комментарий/решение

$5(a^4+b^4+c^4)+9=5(a^4+b^4+c^4)+2(a^2+b^2+c^2)+3$

По неравенству о среднем арифметическим и средним геометрическим получаем:

$5a^4+2a^2+1\geq8\sqrt[8]{a^{24}}=8a^3$

Аналогично для b и c.

Суммируя 3 таких неравенства получаем исходное.

$f(x) = 5x^4+3-8x^3$ $\geq$ $g(x) = ax^2 + b$

$5(a^4+b^4+c^4)+9 = 8 (a^3+b^3+c^3)$ если $a = b = c = 1$

$f(1) = 5*1^4 + 3 - 8*1^3 = 0 = g(1) = a + b$

$f'(x) = (5x^4+3-8x^3)' = \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(3) - \frac{d}{dx}(8x^3) = 5 * 4x^3 + 0 - 8 * 3x^2 = 20x^3 - 24x^2$

$g'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2) + \frac{d}{dx}(b) = a * 2x + 0 = 2ax$

$f'(1) = 20 * 1^3 - 24 * 1^2 = -4 = g'(1) = 2a * 1 = 2a \Rightarrow a = -2 \Rightarrow b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$

$(!) 5x^4 + 3 - 8x^3 \geq 2 - 2x^2$

$(!) 5x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 1 \geq 0$

$(!) (x-1)^2 (5x^2+2x+1) \geq 0 \Leftrightarrow$ верно при $x \in \mathbb{R}$ $,$ это неравенство доказано$.$ Значит $:$

$5a^4 + 3 \geq 8a^3 - 2a^2 + 2$

$\sum 5a^4 + 3 = 5(a^4+b^4+c^4)+9 \geq \sum 8a^3 - 2a^2 + 2 = 8(a^3 + b^3 + c^3) - 2(a^2 + b^2 + c^2) + 6 = 8 (a^3+b^3+c^3).$