Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Вычислить сумму $\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{2018}{2016!+2017!+2018!}.$

Комментарий/решение

$\dfrac{n}{(n-2)!+(n-1)!+n!} = \dfrac{n}{(n-2)!(1+n-1+(n-1)n)} = \dfrac{1}{(n-2)!n}=\dfrac{n-1}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{n!}$

$\sum\limits_{n=3}^{2018} \dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{n!}=\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2018!}$