Западно-Китайская математическая олимпиада, 2005 год

Окружности $C(O_1)$ и $C(O_2)$ пересекаются в точках $A$, $B$. $CD$ проходит через $O_1$, пересекает $C(O_1)$ в точке $D$ и касается $C(O_2)$ в точке $C$. $AC$ касается $C(O_1)$ в $A$. $E$ - такая точка, что $AE \bot CD$ и $AE$ пересекает $C(O_1)$ в $E$. $F$ - такая точка, что $AF \bot DE$ и $AF$ пересекает $DE$ в $F$. Докажите, что $BD$ делит пополам $AF$.