Западно-Китайская математическая олимпиада, 2005 год

Даны три точки $P$, $A$, $B$ и окружность, такие, что прямые $PA$ и $PB$ касаются окружности в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$, пересекает окружность в точках $C$ и $D$. Через точку $B$ проведена прямая, параллельная $PA$. Пусть она пересекает прямые $AC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $BE = BF$.

Комментарий/решение

$ABCD$ - гармонический четырёхугольник ($PA,PB$ - касательные, $PCD$ - секущая). Тогда:

$$-1=(A,B;C,D) \stackrel{A}{=} (\infty,B;E,F)=\frac{\infty E}{BE}:\frac{\infty F}{BF}=\frac{BF}{BE} \Rightarrow BF=BE$$