Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 1-ші лига (7-8 сыныптар)

Теңбүйірлі $ABC$ ($AB=AC$) үшбұрышы берілген. $l$ түзуі $A$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзу. $D$ — $l$ түзуінде кез келген белгіленген нүкте болсын. $E$ және $F$ нүктелері $A$ нүктесінен сәйкесінше $BD$ және $CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінен $l$-ге түсірілген перпендикулярлар табандары. $AP+AQ \leqslant AB$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$P',D',E'-$точки, симметричные $P,D,E$ относительно серединного перпендикуляра к $BC.$ Тогда $AP+AQ=AP'+AQ=P'Q \leq EF,$ так как $P'Q-$проекция $EF$ на $l.$ $\angle AE'C=\angle AFC=90^\circ,$ что значит $AC-$диаметр откружности, описанной около $AECF$. Из-за чего $AC \geq E'F,$ Что равносильно требуемому. Равенство достигается, когда $D$, дополняет $ABC$ до параллелограмма.