4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, первая лига, 7-8 классы

На рисунке ниже найдите углы треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Фигура внутри треугольника ABC -ромб так как стороны равны.То диагонали ромба перпендикулярный.Обозначим вершины ромба MNKL.где M,N,P,K лежит на сторанах AB,AC,BC соответственно.Угол NPK=PNK=NPM=PNM=a,то угол NKC=2a,то углы KNS=KCN=90-a так как треугольник NKC равнобедренный.Тогда угол ANM =90-a,так как угол ANP=PNC=90 и угол MNP=PNK=a.Угол MPB=180-уголMPK=180-2a=угол MBPТо уголугол AMN=MAN=180-2a.Сумма внутренных углов треугольника AMN 2*(180-2a)+90-a=180,то a=54и углы треугольника ABC равен 72°,72°,36°.точнее угол ABC=72°,BAC72°,ACB=36°

Ответ: $\angle B=\angle A=72^\circ , \angle C=36^\circ$

Решение : Отметим вершины ромба, как $M,N,K,L(M \in AB, N \in AC, K,L \in BC).$

$\angle AMN=\angle ABC=\angle NKL=\angle KMN \Rightarrow \angle B =\angle C$

$\angle MLK=\angle MNK=\angle NKC \Rightarrow \angle B=\angle A=2\angle C \Leftrightarrow 5\alpha=180^\circ , \alpha=36^\circ$

$\angle A=\angle B =72^\circ , \angle C=36^\circ$

Введем барицентрическую систему координат где $A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)$ и соответствующие стороны как a,b,c. Отметим вершины ромба, как $M, N, K, L$, где $M \in AB, N \in AC$ и $K,L \in BC$. Возьмем длину $BM$ как $t$, тогда $BM:MA=t:(c-t), AN:NC=t:(a-t), CK:KB=t:(a-t), CL:LB=2t:(a-2t)$, из это исходит что их координаты будут $M=(\frac{t}{c},\frac{c-t}{c},0), N=(\frac{b-t}{b},0,\frac{b}{t}), K=(0,\frac{t}{a},\frac{a-t}{a}), L=(0,\frac{2t}{a},\frac{a-2t}{a})$.

Координата середины точек $XY$ равна $(X+Y)/2$. Так как $MNKL$ параллелограмм то $MK$ и $NL$ имеют общую середину, значит $(M+K)=(N+L)/2$, то есть $M+K=N+L$. из этого исходит что сумма координаты $z$ у $M$ и $K$ равна сумме координаты $z$ у $N$ и $L$, значит:

$0+\dfrac{a-t}{a}=\dfrac{t}{b}+\dfrac{a-2t}{a}$

$\dfrac{a-t-a+2t}{a}=\dfrac{t}{b}$

$t/a=t/b$

$a=b$

Также мы знаем что cумма координаты $x$ у $M$ и $K$ равна сумме координаты $x$ у $N$ и $L$, значит:

$t/c+0=(b-t)/b+0$

$tb=c(b-t)$

$t(b+c)=bc$

$t=bc/(b+c)=ac/(a+c)$

Вектор $\vec{ML}$ равен $M-L=(t/c-0,(c-t)/c-2t/a,0-(1-2t/a))=(a/a+c,-c/(a+c),(c-a)/(a+c))$

по формуле дистанции если вектор $\vec{XY}=(x,y,z)$ где $х+у+z=0$, тогда $-a^2yz-b^2xz-c^2xy=|XY|^2$, значит:

$-a^2(-c)(c-a)/(a+c)^2-b^2a(c-a)/(a+c)^2-c^2(-c)a/(a+c)^2=|ML|^2=t^2=(ac)^2/(a+c)^2$

домножаем на $(a+c)^2:$

$-a^2(-c)(c-a)-b^2a(c-a)-c^2(-c)a=(ac)^2$

берем длину $a=b$ как 1

$-(-c)(c-1)-(c-1)-c^2(-c)=c^2$

$c^3-2c+1=0$

так как у полученного многочлена степень 3 то в нем не больше 3 ответов. Под $с$ можно подобрать $c=1, c=(√5-1)/2, c=(-√5-1)/2$. Очевидно с не равен $(-√5-1)/2$ ведь длинна $AB$ положительна, также $c$ не может равняться 1 , иначе треугольники $\triangle BML, \triangle MAK, \triangle KLM $были бы равносторонними и тогда $с=2/3a=2/3$ что является противоречием, значит $c=(√5-1)/2$.

Проведем биссектрису $CD$, так как $AC=BC$, то $CD$ медиана и высота. $BD=AB/2=(√5-1)/4, \angle ADC=90 => \sin \angle ACD=(√5-1)/4$. Так как $\angle ACD=\angle ACB/2$ то $0<\angle ACD<90$ и так как синус от 0 до 90 возрастает то под $\angle ACD$ подходит только одно значение, но мы знаем что $\sin 18=(√5-1)/4$, значит $\angle ACD$ может равняться только 18. Значит $\angle ACB=36$ и $\angle ABC=\angle BAC=72$.

Чё за тема решение