1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига

Да дуге $BC$ (не содержащей точки $A$), описанной окружности $\triangle ABC$, взяты точки $X$ и $Y$ такие, что $\angle BAX = \angle CAY$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AX$. Докажите справедливость неравенства $BM+CM>AY.$

Комментарий/решение

Пусть $\omega$ окружность около $ABC$, из условия получается что $BX=CY$ и $BC ||YX$, проведем отрезок $GF$ в $\omega$ такой что $YX || GF$ и проходящий через $M$, возьмем на $\omega$ такую точку $D$ что $BM=DM$ тогда из того что $M$ середина, получается что $ABDC$ равнобедренная трапеция, тогда $BX=AD$ тогда $CY = AD$ откуда $CD=AY$ тогда по неравенству треугольника $CM+BM = CM+DM>CD=AY$