1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига
В треугольнике ABC выполняется равенство ∠C=∠A+90∘. На отрезке BC за точку C взята точка D такая, что AC=AD. На плоскости взята точка E такая, что точки A и E лежат по разные стороны от прямой BC и ∠EBC=∠A, ∠EDC=12∠A. Докажите, что ∠CED=∠ABC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ABK прямоугольный треугольник и окружность ω построена как на диаметре AK, опустим высоту BT на AK,
пусть C на AK такая что BC=BK и D∈BC∩ω тогда AC=AD и ABC нужный треугольник, пусть AG биссектриса KAB и F∈ω∩AG
и E∈BT∩DF тогда E нужная точка на плоскости.
Докажем что ABG,DCE подобны, для этого докажем что AGAB=DCDE пусть ∠GAB=a
так как DE=BDsin2asin3a и BD=DC⋅cos2asin4a⋅sin6acos4a тогда DE=DC⋅cos3acos4a то есть DCDE=cos4acos3a но из AGB получается AGAB=cos4acos3a
Значит ∠CED=∠ABG=∠ABC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.