Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига


В треугольнике ABC выполняется равенство C=A+90. На отрезке BC за точку C взята точка D такая, что AC=AD. На плоскости взята точка E такая, что точки A и E лежат по разные стороны от прямой BC и EBC=A, EDC=12A. Докажите, что CED=ABC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
3 года 9 месяца назад #

Пусть ABK прямоугольный треугольник и окружность ω построена как на диаметре AK, опустим высоту BT на AK,

пусть C на AK такая что BC=BK и DBCω тогда AC=AD и ABC нужный треугольник, пусть AG биссектриса KAB и FωAG

и EBTDF тогда E нужная точка на плоскости.

Докажем что ABG,DCE подобны, для этого докажем что AGAB=DCDE пусть GAB=a

так как DE=BDsin2asin3a и BD=DCcos2asin4asin6acos4a тогда DE=DCcos3acos4a то есть DCDE=cos4acos3a но из AGB получается AGAB=cos4acos3a

Значит CED=ABG=ABC