1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига

Каждый из учеников Мехди и Мортеза нарисовали вписанный $93$-угольник. Обозначим первый $93$-угольник через $A_1A_2 \ldots A_{93}$, а второй через $B_1B_2 \ldots B_{93}$. Известно, что $A_iA_{i+1} \parallel B_iB_{i+1}$ для каждого $1 \leq i \leq 93$ (полагается, что $A_{94}=A_1$ и $B_{94}=B_1$). Докажите, что отношение $\frac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ не зависит от выбора $i$.

Комментарий/решение

Поскольку $A_iA_{i+1}$ параллелен $B_iB_{i+1},$ по аргументам прямых, мы должны иметь $\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}=\angle B_iB_{i +1}B_{i+2}.$ Теперь зафиксируем описанную окружность $93$-угольника $B.$. Докажем, что $B$ тоже должно быть зафиксировано. Это связано с тем, что $\angle B_iB_{i+1}B_{i+2}$ фиксирован, поэтому длина дуги $B_iB_{i+2}$ фиксирована. Теперь необходимо исправить длины дуг $B_1B_3, B_3B_5, \dots$. Таким образом, длина дуги $B_{93}B_1$ фиксирована. Аналогично, любая другая длина дуги также должна быть фиксированной. Таким образом, $93$-угольник $B$ должен быть зафиксирован, если фиксирована описанная вокруг него окружность. Однако многоугольник, похожий на $A$ внутри описанной окружности, удовлетворяет условиям и, следовательно, должен быть $B.$ Это означает, что $A$ и $B$ подобны, и все готово.