Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)


Кез келген 1i,j,k2 үшін барлық XiYjZk үшбұрыштары ұқсас болатындай жазықтықта X1,X2,Y1,Y2,Z1,Z2 нүктелері табылады ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 8 месяца назад #

Ответ: нет, не существует

Построим произвольный треугольник X1Y1Z1. Теперь нужно построить треугольник X1Y1Z2. По условию, эти треугольники подобны: X1Y1Z1X1Y1Z2. То есть X1Y1X1Y1=X1Z1X1Z2=Y1Z1Y1Z2=k=1X1Y1Z1=X1Y1Z2. Чтобы точки Z1 и Z2 не совпали, разнесем их симметрично относительно прямой X1Y1.Теперь нужно подумать, как разместить точку Y2. Опять рассмотрим X1Y1Z1. Рассмотрим две полуплоскости, получаемые делением плоскости прямой X1Z1. Если Y2 лежит в нижней полуплоскости, то эта точка совпадёт с Y1. Значит, расположим в верхней полуплоскости, симметрично прямой X1Z1. Пришли к противоречию. Ведь X1Y2Z2 не будет подобен остальным треугольникам. Две стороны X1Y2Z2 равны, а третья не равна