Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)
Кез келген 1≤i,j,k≤2 үшін барлық XiYjZk үшбұрыштары ұқсас болатындай жазықтықта X1,X2,Y1,Y2,Z1,Z2 нүктелері табылады ма?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: нет, не существует
Построим произвольный треугольник X1Y1Z1. Теперь нужно построить треугольник X1Y1Z2. По условию, эти треугольники подобны: △X1Y1Z1∼△X1Y1Z2. То есть X1Y1X1Y1=X1Z1X1Z2=Y1Z1Y1Z2=k=1⇒△X1Y1Z1=△X1Y1Z2. Чтобы точки Z1 и Z2 не совпали, разнесем их симметрично относительно прямой X1Y1.Теперь нужно подумать, как разместить точку Y2. Опять рассмотрим △X1Y1Z1. Рассмотрим две полуплоскости, получаемые делением плоскости прямой X1Z1. Если Y2 лежит в нижней полуплоскости, то эта точка совпадёт с Y1. Значит, расположим в верхней полуплоскости, симметрично прямой X1Z1. Пришли к противоречию. Ведь △X1Y2Z2 не будет подобен остальным треугольникам. Две стороны △X1Y2Z2 равны, а третья не равна
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.