3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

Окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega$ в точке $A$ пересекает $\omega'$ в точке $C$; касательная к окружности $\omega'$ в точке $A$ пересекает $\omega$ в точке $D$. Биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Внешняя биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $X$ и $Y$, соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку $XY$ касается описанной окружности треугольника $BEF$.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_{3}$ окр-сть описанная около $BEF$ и $G \in XE \cap YF$ тогда покажем что $G$ является точка касания серединного перпендикуляра с $\omega_{3}$, отметим сразу что $\angle XAF = 90^{\circ}$ по свойству биссектрис.

1) Пусть $H \in DE \cap CF$ так как $AD$ касательная, тогда $\angle BFE =\angle BCA = \angle BAD = \angle BED$ то есть $DE$ касательная к $\omega_{3}$, аналогично $CF$ то есть $\angle BEF = \angle HFB$

2) Получается что $\angle HFE = \angle HEF$, значит $\angle DEA = \angle AFC$ или $\angle DXA = \angle CYA$ учитывая что $AF$ биссектриса, тогда $\angle XEA = \angle YFA$ пусть $\angle EXA = a$ тогда $\angle FGE = 180^{\circ}-2a$ но $\angle EBF = 180^{\circ}-2a$ то есть $BFEG$ лежат на одной окружности $\omega_{3}$.

3) тогда $GX=GY$, и так как $FG=EG$ значит $HG || XY$ то есть серединный перпендикуляр касается $\omega_{3}$.