3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная в точке $A$ к окружности $C_1$ пересекает $C_2$ в точке $P$. Прямая $PB$ пересекает $C_1$ второй раз в точке $Q$ ($Q$ лежит вне $C_2$). Касательная к $C_2$, проходящая через точку $Q$, пересекает $C_1$ и $C_2$ в точках $C$ и $D$, соответственно. Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$. Докажите, что $AD$ является биссектрисой угла $CAP$.

Комментарий/решение

$$C_1:\angle CAB= \angle CQB$$

$$C_2: \angle DAB = \angle BDQ$$

$$ \angle CAD= \angle CAB+ \angle DAB=\angle CQB+\angle BDQ=\angle PBD= \angle PAD$$

$\angle PBD=\angle PAD \Rightarrow AD-$ биссектриса

$\angle ADP=\alpha,\angle DAP=\beta\Rightarrow \angle DCA=180^\circ-\angle QCA=180^\circ-\angle QBA=\angle ABP=\angle ADP=\alpha$.$\angle CDA=\angle APD=180^\circ-\alpha-\beta\Rightarrow \angle CAD=180^\circ-\alpha-(180^\circ-\alpha-\beta)=\beta$