3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная в точке $A$ к окружности $C_1$ пересекает $C_2$ в точке $P$. Прямая $PB$ пересекает $C_1$ второй раз в точке $Q$ ($Q$ лежит вне $C_2$). Касательная к $C_2$, проходящая через точку $Q$, пересекает $C_1$ и $C_2$ в точках $C$ и $D$, соответственно. Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$. Докажите, что $AD$ является биссектрисой угла $CAP$.

Комментарий/решение

$$C_1:\angle CAB= \angle CQB$$

$$C_2: \angle DAB = \angle BDQ$$

$$\angle CAD= \angle CAB+ \angle DAB=\angle CQB+\angle BDQ=\angle PBD= \angle PAD$$

$\angle PBD=\angle PAD \Rightarrow AD-$ биссектриса