Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


Бір елдің қалаларының арасында кез келген қаладан кез келген басқа қалаға (мүмкін, басқа қала арқылы) жетуге болатындай екі бағытты тұра авиарейстер ұйымдастырылған. Сонымен қатар кез келген A қаласы үшін, келесі шарттар орындалатындай B қаласы бар: осы екі қаладан басқа қаладардың әрқайсысы A қаласымен, немесе B қаласымен тұра қосылған. Кез келген қаладан кез келген басқа қалаға ең көп дегенде екі орын ауыстыру арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіздер. ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть X и Y — произвольные два города, а X, Z1, , Zk, Y — маршрут между ними с наименьшим числом пересадок. Предположим, что k3. Тогда Z2 не соединён рейсом ни с X, ни с Y, иначе наш маршрут можно бы было бы сократить, воспользовавшись этим рейсом. По условию, существует город B такой, что каждый город, отличный от Z2 и B, соединён рейсом хотя бы с одним из них. Значит, каждый из городов X и Y либо соединён с B, либо сам является городом B. Но, если XBY, то существует маршрут X, B, Y с одной пересадкой, в противном случае существует даже рейс между X и Y. В любом случае мы получили противоречие с выбором k. Значит, предположение неверно, и k2. В силу произвольности выбора X и Y требуемое утверждение доказано.