Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, I тур регионального этапа


На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно так, что PQBC. На биссектрисах треугольников ABC и APQ, исходящих из вершин B и Q, выбраны точки X и Y соответственно так, что XYBC. Докажите, что PX=CY. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Обозначим через M и N точки пересечения прямой XY со сторонами AB и AC соответственно. Заметим, что MXB=XBC=MBX=NQY=YQP=NYQ, поэтому MX=MB=NC и NY=NQ=MP. Кроме того, CNY=PMX. Следовательно, треугольники PMX и YNC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда PX=YC.
Замечание. Аналогичное решение можно получить, обозначив через T точку пересечения BX и PQ и доказав, что треугольники PTX и CQY равны.