Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, I тур регионального этапа
На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно так, что PQ∥BC. На биссектрисах треугольников ABC и APQ, исходящих из вершин B и Q, выбраны точки X и Y соответственно так, что XY∥BC. Докажите, что PX=CY.
(
А. Кузнецов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Обозначим через M и N точки пересечения прямой XY со сторонами AB и AC соответственно. Заметим, что ∠MXB=∠XBC=∠MBX=∠NQY=∠YQP=∠NYQ, поэтому MX=MB=NC и NY=NQ=MP. Кроме того, ∠CNY=∠PMX. Следовательно, треугольники PMX и YNC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда PX=YC.
Замечание. Аналогичное решение можно получить, обозначив через T точку пересечения BX и PQ и доказав, что треугольники PTX и CQY равны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.