58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год
Ω деген шеңберінің бойында RS диаметрі тес болатын R және S нүктелер белгіленген. R нүктесінде Ω-ны жанайтын ℓ түзуі сызылған. S нүктесі RT кесіндісінің ортасы болатын T нүктесі алынған. Ω-ның RS кіші доғасында келесі шарт орындалатындай J нүктесі алынған: JST үшбұрышының сырттай сызылған Γ шеңбері ℓ түзуімен екі әртүрлі нүктеде қиылысады. Осы Γ шеңберінің мен ℓ түзуінің қиылысу нүктелерінен K нүктесіне жақын нүктесін A деп белгілейік. AJ түзуі Ω-ны екінші рет K нүктесінде қияды. KT түзуі Γ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Лемма: AT∥RK.
Доказательство: имеем ∠JAT=180∘−∠JST=∠JSR=∠JKR, из чего следует желаемый вывод.
Теперь предположим, что описанная окружность треугольника SKT снова пересекает RK в точке X. Я утверждаю, что X,S,A коллинеарны. Чтобы доказать это, мы вместо этого покажем, что RXTA — параллелограмм; мы уже знаем, что RX∥TA, поэтому теперь достаточно показать, что RA∥XT. Но это следует из ∠STX=∠SKX=∠ART, причем доказательство в других конфигурациях проводится аналогичным образом.
Таким образом, ∠KTR=∠RXA=∠SAT, подразумевая, что KT касается Ω, и мы закончили.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.