Processing math: 100%

58-я Международная Математическая Oлимпиада
Бразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год


Ω деген шеңберінің бойында RS диаметрі тес болатын R және S нүктелер белгіленген. R нүктесінде Ω-ны жанайтын түзуі сызылған. S нүктесі RT кесіндісінің ортасы болатын T нүктесі алынған. Ω-ның RS кіші доғасында келесі шарт орындалатындай J нүктесі алынған: JST үшбұрышының сырттай сызылған Γ шеңбері түзуімен екі әртүрлі нүктеде қиылысады. Осы Γ шеңберінің мен түзуінің қиылысу нүктелерінен K нүктесіне жақын нүктесін A деп белгілейік. AJ түзуі Ω-ны екінші рет K нүктесінде қияды. KT түзуі Γ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 3 месяца назад #

ASRK=M

SRK=KJS=STARKAD

RS=ST,RKADARTMпаралеограмм STM=SRA (1), KMS=SAT (2)

AR касается ΩSKR=SRA (3)

(1)+(3): SKR=STMSTMKвписанный

KMS=KTS (4)

(2)+(4): SAT=KTSKT касается Γ в точке T. #

  8
1 года 4 месяца назад #

Лемма: ATRK.

Доказательство: имеем JAT=180JST=JSR=JKR, из чего следует желаемый вывод.

Теперь предположим, что описанная окружность треугольника SKT снова пересекает RK в точке X. Я утверждаю, что X,S,A коллинеарны. Чтобы доказать это, мы вместо этого покажем, что RXTA — параллелограмм; мы уже знаем, что RXTA, поэтому теперь достаточно показать, что RAXT. Но это следует из STX=SKX=ART, причем доказательство в других конфигурациях проводится аналогичным образом.

Таким образом, KTR=RXA=SAT, подразумевая, что KT касается Ω, и мы закончили.