Математикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл
Комментарий/решение:
Пусть X=AL∩BC, мы будем доказывать что T,X,S лежат на одной прямой(коллинеарны)
∠BDC=180−∠ACD=∠ABC откуда AB касательная к описанной окружности треугольника (BCD)
Аналогично, AC касательная к описанной окружности треугольника (BCE)
Не сложно убедиться углами что BT∥CS.
Так как AL симедиана , BXXC=AB2AC2
=AT∗ACAB∗AS
=ATAS∗ABAT
=ATAS∗BSTC
Используя Теорему Менелая оно завершает доказательство
ST∩BC=X, покажем что A−X−L.
Из счета углов поймем что ∠ABC=∠BCE=∠BDC=α, также ∠ACB=∠BEC=∠BSC=β, откуда BT∥SC.
То есть, (BDC) касается AB и (BCE) касается AC, откуда имеем выражения AT=AB2AC, AS=AC2AB.
Выполняя теорему менелая, получаем что BXCX∗TCBS=AB3AC3.
Докажем, что TCBS=ABAC, тем самым подтверждая что AX симедиана в ABC.
Заметим, что из теоремы синусов мы имеем: TCsin(α−β)=BCsin(180−α)=BCsin(α) и SBsin(α−β)=BCsin(β).
Разделив первую дробь на вторую получаем TCSB=BCsin(α)∗sin(β)BC=ABAC. Значит AX и AL симедианы треугольника ABC, то есть A−X−L, что и требовалось доказать.
Не знаю можно ли так делать вообще... Но
С момента ST∥BC:
Заметим что SC − антипараллель AB относительно ∠A
Аналогично и BT тоже.
Тогда если AX медиана к BT,SC то она симедиана BC
Что верно т.к. X персечение диагоналей трапеции SBTC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.