Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл


AB<AC болатындай, сүйірбұрышты ABC үшбұрышы берілсін және Γ шеңбері ABC үшбұрышына сырттай сызылсын. tb және tc түзулері Γ шеңберімен B және C нүктелерінде жанассын және L нүктесі tb және tc түзулерінің ортақ нүктесі болсын. B нүктесі арқылы өтетін түзу, AC қабырғасына параллель tc түзуін D нүктесінде қияды. C нүктесі арқылы өтетін түзу, AB қабырғасына параллель tb түзуін E нүктесінде қияды. T нүктесі A және C нүктелері арасында жататындай, BDC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер AC қабырғасын T нүктесінде қияды. B нүктесі A және S нүктелері арасында жататындай, BEC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, AB қабырғасын S нүктесінде қияды. ST, BC және AL түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 11 месяца назад #

Пусть X=ALBC, мы будем доказывать что T,X,S лежат на одной прямой(коллинеарны)

BDC=180ACD=ABC откуда AB касательная к описанной окружности треугольника (BCD)

Аналогично, AC касательная к описанной окружности треугольника (BCE)

Не сложно убедиться углами что BTCS.

Так как AL симедиана , BXXC=AB2AC2

=ATACABAS

=ATASABAT

=ATASBSTC

Используя Теорему Менелая оно завершает доказательство

пред. Правка 2   2
8 месяца 7 дней назад #

STBC=X, покажем что AXL.

Из счета углов поймем что ABC=BCE=BDC=α, также ACB=BEC=BSC=β, откуда BTSC.

То есть, (BDC) касается AB и (BCE) касается AC, откуда имеем выражения AT=AB2AC, AS=AC2AB.

Выполняя теорему менелая, получаем что BXCXTCBS=AB3AC3.

Докажем, что TCBS=ABAC, тем самым подтверждая что AX симедиана в ABC.

Заметим, что из теоремы синусов мы имеем: TCsin(αβ)=BCsin(180α)=BCsin(α) и SBsin(αβ)=BCsin(β).

Разделив первую дробь на вторую получаем TCSB=BCsin(α)sin(β)BC=ABAC. Значит AX и AL симедианы треугольника ABC, то есть AXL, что и требовалось доказать.

пред. Правка 2   0
4 месяца 1 дней назад #

Не знаю можно ли так делать вообще... Но

С момента  STBC:

Заметим что  SC   антипараллель  AB  относительно  A

Аналогично и  BT  тоже.

Тогда если  AX  медиана к  BT,SC  то она симедиана  BC

Что верно т.к.  X  персечение диагоналей трапеции  SBTC

  0
4 месяца назад #

не неверно.