Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып


ABC үшбұрышы берілген. O — сырттай сызылған шеңбердің центрі, B1 және C1 сәйкесінше AC және AB қабырғаларының ортасы. A төбесі мен O нүктесін қамтитын, бірақ B1 және C1 нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен ω шеңберін таңдайық. ω шеңбері OB1 және OC1 түзулерін сәйкесінше K және L нүктелерінде қисын. KB1-дің LC1-ге қатынасы ω шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
3 года 3 месяца назад #

Лемма 1 (Лемма о велосипедистах): Пусть даны окружности ω1 и ω2, которые пересекаются в точках A и B, также на ω1 дана точка C.

Пусть BCω2=C1, тогда H - если поворотная гомотетия, с центром в точке A, переводящая ω1 в ω2, тогда также H(C)=C1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вернемся к задаче, пусть ω - описанная окружность AOB1C1, ω0 - окружность проходящая через AO, но не проходящая через B1 и C1, пусть ее центр это точка O1

Пусть H - поворотная гомотетия с центром A и переводит ω в ω0, тогда по нашей лемме H(C1)=L и H(B1)=K

(AC1,AL)=(AB1,AK)=(AO,AO1)=φ.

Теперь рассмотрев прямоугольные треугольники AC1O и AB1L, с углом φ при вершине A, получаем что C1L=AC1tgφ, B1K=AB1tgφ KB1LC1=AB1tgφAC1tgφ=AB1AC1=const

  5
3 года назад #

Заметим что OLA=OKA и LC1A=KB1A=90 отсюда LC1AKB1A следовательно KB1LC1=AB1AC1=ACAB -что фиксировано