Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Лемма 1 (Лемма о велосипедистах): Пусть даны окружности ω1 и ω2, которые пересекаются в точках A и B, также на ω1 дана точка C.
Пусть BC∩ω2=C1, тогда H - если поворотная гомотетия, с центром в точке A, переводящая ω1 в ω2, тогда также H(C)=C1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вернемся к задаче, пусть ω - описанная окружность AOB1C1, ω0 - окружность проходящая через AO, но не проходящая через B1 и C1, пусть ее центр это точка O1
Пусть H - поворотная гомотетия с центром A и переводит ω в ω0, тогда по нашей лемме H(C1)=L и H(B1)=K⟹
∠(AC1,AL)=∠(AB1,AK)=∠(AO,AO1)=φ.
Теперь рассмотрев прямоугольные треугольники AC1O и AB1L, с углом φ при вершине A, получаем что C1L=AC1tgφ, B1K=AB1tgφ⟹ KB1LC1=AB1∗tgφAC1∗tgφ=AB1AC1=const
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.