Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Докажите, что для всех положительных чисел $a,b,c$ справедливо неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$

Комментарий/решение

Из неравенство Коши для двух следует $a^2+b^2 \geq 2ab$, тогда если заменить в дроби $a^2+b^2$ на $2ab$, получим:

$$\dfrac{a^2}{3a^2+b^2+2ac}=\dfrac{a^2}{2a^2+a^2+b^2+2ac} \leq \dfrac{a^2}{2a^2+2ab+2ac}=\dfrac{a}{2(a+b+c)}$$

Совершив эту операцию с остальными дробями получим:

$$\dfrac{a^2}{3a^2+b^2+2ac}+\dfrac{b^2}{3b^2+c^2+2ab}+\dfrac{c^2}{3c^2+a^2+2bc} \leq$$

$$\leq \dfrac{a}{2(a+b+c)}+\dfrac{b}{2(a+b+c)}+\dfrac{c}{2(a+b+c)}= \dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)} = \dfrac{1}{2}$$

Задача точно правильная? Просто куча контрпримеров.

например?

Я слит

Искал 20 дней контрпример?

Да делать же нечего

проголосовать за чувака который написал решение-не

проголосовать на "я слит"-ДА

Дефолт для smoking smoldy и AlikhanSerik(king)