Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып

Дөңгелек пішінді аралдың жағалық сызығының бойында 2016 шамшырақ орналасқан. Ұқыпсыз шенеунік қарқынды қызмет істеп жүргенін көрсеткісі келіп, күнде тәуекелдеп үш қатар орналасқан немесе біреуден кейін орналасқан үш шамшырақтың күйін ауыстырады (яғни ABABA тізбегінде ол A шамшырақтарының күйін ауыстырады). Егер барлық шамшырақ өшіп қалса, онда шенеунік жұмысынан босатылады. Егер бір мезетте бір ғана шамшырақ жанбағаны оның есінде болса, оған өз орны үшін қорқу керек па? (Шамшырақтың күйін өзгерту деген, ол шамшырақ өшіп тұрса оны қосу, немесе керісінше.)

Комментарий/решение

Ответ: Не стоит опасаться.

Пронумеруем маяки цифрами 1, 2, 3 двигаясь по кругу. В некоторый момент времени, ровно один маяк был выключен (БОО пусть это маяк с цифрой 1). Заметим, что каждый день меняется состояние трех различных маяков (т.е. маяков 1, 2, 3). Тогда четность каждого маяка меняется на противоположный. Но изначально количество горящих маяков 1 была нечетной, а маяков 2, 3 была четной. Следовательно количество горящих маяков 1 никогда не будет равна количеству горящих маяков 2, 3. Значит все они не могут одновременно погаснуть.