Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс

Запишите произведение многочленов $\left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{2048}} \right)$ в стандартном виде (т. е. в виде ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Воспользуемся следующими формулами $\left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ и ${{a}^{n+1}}-{{b}^{n+1}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{n}}+{{a}^{n-1}}b+\ldots +a{{b}^{n-1}}+{{b}^{n}} \right).$ Имеем: $\left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{2048}} \right)=$$\dfrac{\left( x-1 \right)\left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{2048}} \right)}{x-1}=$ $\dfrac{{{x}^{4096}}-1}{x-1}=$ ${{x}^{4095}}+{{x}^{4094}}+\ldots +x+1.$

Ответ :$x^{4095}+x^{4094}+...+x^2+x+1$

Решение. Заметим, что все коэффициенты в скобках равны единице. Кроме того, ни одна степень не повторяется , следовательно, при раскрытии скобок подобных слагаемых не будет. Откуда и следует, что все коэффициенты равны $1$. А степень старшего члена определим так : возьмем последнюю и предпоследнюю скобки, сложим их степени

Мат индукция:

$$1) (1+x)(1+x^2)=x^3+x^2+x+1$$

$$2) (1+x)(1+x^2)(1+x^4)=(x^3+x^2+x+1)(1+x^4)=x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$

$$3) (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(1+x^8)=$$

$$=x^{15}+x^{14}+x^{13}+...+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$

$$................................................................................................$$

$$(1+x)(1+x^2)\cdot ....\cdot (1+x^{2^n})=x^{2^{n+1}-1}+x^{2^{n+1}-2}+...+x+1$$

Тогда

$$(1+x)(1+x^2) \cdot ....\cdot (1+x^{2^{11}})=x^{4095}+x^{4094}+....+x+1$$