Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, III тур дистанционного этапа

Решите ребус УХА$=$НОК(УХ, УА, ХА). Здесь У, Х, А — три различные цифры. Двузначные и трёхзначные числа не могут начинаться с нуля. Напомним, что НОК нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из них.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 150 $=$ НОК(15, 10, 50).
Решение. Так как УХА делится на УХ, А $=$ 0, то есть число имеет вид УХ0. Так как УХ0 делится на У0 и Х0, УХ делится на У и Х, откуда следует, что Х делится на У, а 10У делится на Х. Пусть Х $=$ М$\cdot$У. Тогда 10У делится на М$\cdot$У, откуда 10 делится на М, то есть М$=$2 или М$=$5. Условию Х$=$2У удовлетворяют только числа 120, 240, 360, 480, а условию Х$=$5У — только число 150. Проверка показывает, что подходит только число 150.