Леонард Эйлер атындағы IX олимпиаданың дистанционды кезеңінің 2-ші туры

100 шардың дәл 51-і радиоактивті екені белгілі. Бізде бір аспап бар. Оған екі шар салуға болады. Егер ол шардың екеуі де радиоактивті болса, онда сол аспапта шам жанады (ал егер екі шардың кемінде біреуі радиоактивті болмаса, онда онда шам жанбайды). Аспапты 145-тен көп емес қолдану арқылы радиоактивті шарлардың барлығын табуға болады ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Можно.
Разобьём шары на 50 пар и испытаем их. Рассмотрим два возможных случая.
1) Ровно одно из этих испытаний выявило два радиоактивных шара. Тогда в каждой из остальных 49 пар ровно по одному радиоактивному шару. Испытав с одним из найденных радиоактивных по одному шару из каждой оставшейся пары, мы распознаем все 98 оставшихся шаров. Всего мы провели $50+49 = 99$ испытаний.
2) По два радиоактивных шара выявилось хотя бы в двух испытаниях. Тогда 4 радиоактивных шара мы уже нашли. Испытаем с одним из найденных радиоактивных шаров 95 шаров из 48 оставшихся пар. После этого мы про 99 шаров будем знать, какие из них радиоактивны. Если таких шаров 50, оставшийся шар радиоактивен, а если 51, то нет. Мы нашли все радиоактивные шары за $50+95 = 145$ испытаний.
Замечание. Более тонкими рассуждениями оценку 145 можно улучшить.