Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Доказать неравенство: $\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\geq \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$ ($x, y>0$).

Комментарий/решение

Неравенство преобразуется в вид

$x^5+y^5 \geq x^4y+y^4x$

$x^4(x-y)+y^4(y-x) \geq 0$

$(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x-y) \geq 0$

$(x-y)^2(x+y)(x^2+y^2) \geq 0$

Каждый множитель $ \geq 0$ , значит все выражение так же $\geq 0$

Можно ещё проще: x⁵-x⁴y-xy⁴+y⁵=x⁴(x-y)-y⁴(x-y)=(x-y)(x⁴-y⁴) больше, либо равно 0, так как х и y больше 0.

Скорее не потому, что х,у > 0, а потому что если БОО положить х >=у придём к тому что х-у >= 0 и х⁴-у⁴ >= 0.