Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып
n санының қандай натурал мәндерінде 2n+65 саны толық квадрат болады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. n=4, n=10.
Рассмотрим остатки при делении на 5. Квадрат целого числа при делении на 5 может давать остатки 0, 1 и 4. Число 65 делится на 5 без остатка. Степени 2 могут давать остатки 1, 2, 4 и 3. Следовательно, Остатки степени 2 при делении на 5 должны быть 1 или 4, а это возможно только при четных степенях. То есть n=2k.
Пусть 22k+65=a2, где a и k — натуральные числа. Тогда (a−2k)(a+2k)=65. Так как 65=13⋅5, то возможны только два случая:
a−2k=5, a+2k=13 и a−2k=1, a+2k=65. Решениями этих систем будут пары a=9, k=2 и a=33, k=5. Тогда натуральными решениями исходного уравнения будут n=4 и n=10.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.