Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып


n санының қандай натурал мәндерінде 2n+65 саны толық квадрат болады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. n=4, n=10.
Рассмотрим остатки при делении на 5. Квадрат целого числа при делении на 5 может давать остатки 0, 1 и 4. Число 65 делится на 5 без остатка. Степени 2 могут давать остатки 1, 2, 4 и 3. Следовательно, Остатки степени 2 при делении на 5 должны быть 1 или 4, а это возможно только при четных степенях. То есть n=2k.
Пусть 22k+65=a2, где a и k — натуральные числа. Тогда (a2k)(a+2k)=65. Так как 65=135, то возможны только два случая:
a2k=5, a+2k=13 и a2k=1, a+2k=65. Решениями этих систем будут пары a=9, k=2 и a=33, k=5. Тогда натуральными решениями исходного уравнения будут n=4 и n=10.

пред. Правка 2   -1
9 года назад #

2n+65=(2n2)2+225+1

n2=5

n=10

2n+65=(2n2)2+2225+52

n2=2

n=4

  1
9 года назад #

Идея того, что Вы ищете квадраты вида x2+2xy+y2 не очень хорошая. Можно ошибиться с подбором таких x и y.