Математикадан 58-ші халықаралық олимпиада, 2017 жыл, Рио-де-Жанейро

Жазықтықта $n \geq 2$ кесінді берілген, олардан кез келген екеуі (ішінде) қиылысады, және кез келген үшеуі бір нүктеде қиылыспайды. Амирге әрбір кесіндінің екі шек нүктелерінен біреуін таңдап осы жағына екінші шегіне қарайтын бақаны қояу керек. Енді ол $n - 1$ рет қолын шапалақтайды. Әр шапалақ кезінде әрбір бақа өзіннің кесінді бойында жататын келесі (басқа кесіндісімен) қиылысу нүктеге бірден алға секіреді. Бақалар өз секіру бағытын ешқашан өзгертпейді. Амир бақаларды осылай орналыстырып келеді: әр кезде бір қиылысу нүктесінде екі бақа бір уақытта түрмайды.
(а) Егер $n$ тақ болса, Амирдің қалауын орындалуға болатынын дәлелдеңіз.
(ә) Егер $n$ жұп болса, онда Амирдің қалауынша ешқашан болмайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Представьте, что вы взяли круг ω большего размера, охватывающий все n точек пересечения. Обозначим через P1, P2, . , P2n — порядок точек на ω по часовой стрелке; мы представляем, как размещаем лягушек на

Вместо этого Пи. Обратите внимание, что для того, чтобы каждая пара сегментов встретилась, каждый сегмент прямой должен иметь форму PiPi+n.

Затем:

(а) Поместите лягушек на P1, P3, . . . , P2n−1. Простое рассуждение о четности показывает, что это работает.

(б) Заметьте, что мы не можем разместить лягушки на последовательных точках числа Пи, поэтому n лягушек необходимо разместить в чередующихся точках. Но так как нам тоже не положено расставлять лягушек в диаметрально противоположных точках, то при четном n сразу получаем противоречие.

Замечание:до этого легко догадаться, если вы просто проделаете несколько небольших случаев и заметите, что пары «точек нарушения» просто образуют большой цикл вокруг