57-я Международная Математическая OлимпиадаГонконг, 2016 год

На доске записано уравнение $(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016).$ Таким образом, в каждой его части записано по $2016$ линейных сомножителей. Найдите наименьшее возможное значение $k$, при котором можно стереть ровно $k$ из этих $4032$ линейных сомножителей так, чтобы в каждой части осталось хотя бы по одному из сомножителей и получившееся уравнение не имело вещественных корней.

Комментарий/решение

Ответ: 2. Решим перебором:

Для 1

Любое уравнение вида x-i = 0 имеет вещественный корень, а именно i, следовательно ответ 1 не подходит, так если убрать всего один множитель то оно будет вида x-i = 0(единственный стертый множитель это (x-i))

Для 2

x - 2 = x - 1(в этом примере были зачеркнуты (x-1) и (x-2)), но -2 = -1 следовательно у этого уравнения нет вещественных корней.

Требуется стереть как можно меньше, а не оставить...

Обозначим такой $i$ что $i$ = 1,2,3,\ldots ,2015,2016.

Заметим что если не стереть с каждой части одинаковые сомножители в виде $x-i$ , получившееся уравнение будет иметь вещественный корень $i$ .

Отсюда надо стереть дублированные сомножители.

Но при этом надо стирать по одному с каждой части так как если стереть 2016 сомножителей например с правой части то левая часть будет иметь решение в вещественных числах.

Следовательно стираем ровно по 1008 различных со множителей с каждой части (так как одинаковых сомножителей 2016)

И получаем

Ответ: $k$ = 2016

Обозначим такой $i$ что $i = 1,2,3,. . . . ,2015,2016$.

Заметим что если не стереть с каждой части одинаковые сомножители в виде $x-i$ , получившееся уравнение будет иметь вещественный корень $i$ .

Отсюда надо стереть дублированные сомножители.

Но при этом надо стирать как минимум по $1$ с каждой части так как если стереть $2016$ сомножителей например с правой части и не стереть ничего с левой то левая часть будет иметь решение в вещественных числах.

Следовательно стираем ровно по $1008$ различных со множителей с каждой части (так как одинаковых сомножителей $2016$)

И получаем

Ответ: $k = 2016$

$1$