Математикадан 58-ші халықаралық олимпиада, 2017 жыл, Рио-де-Жанейро

$BCF$ үшбұрышында $B$ бұрышы тік екені белгілі. $FA = FB$ болатындай $CF$ түзуінде $A$ нүктесі алынған, және $F$ нүктесі $A$ және $C$ нүктелерінің арасында жатады. $DA = DC$ және $DAB$ бұрышының биссектрисасы $AC$ болатындай $E$ нүктесі берілген. $EA = ED$ және $EAC$ биссектрисасы $AD$ болатындай $D$ нүктесі берілген. $M$ нүктесі $CF$ қабырғасының ортасы болсын. $AMXE$ параллелограмм болатын $X$ нүктесі алынған (мұндағы $AM \parallel EX$ және $AE \parallel MX$). $BD$, $FX$ және $ME$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Возьмем $\omega$ как описанную окружность $\triangle BCF$

Докажем что $BA, MX, \omega$ и серединный перпендикуляр $AC$ пересекаются в точке $L$

Oбозначим как

$$MX \cap \omega = L$$

Тогда

$$\angle LMF = \angle MXD = \angle MAE = 2 \angle BAF = \angle BFC$$

Допустим что

$$BA \cap \omega = Q$$

Тогда:

$$\angle QBF = \frac{1}{2} \angle BFC$$

Из чего: $$L=Q$$

Из этого $$\angle LCA = \angle LAC = \frac{1}{2} \angle BFC$$

Значит $L$ лежит на серединном перпендикуляре $AC$

$D$ точка симметричная $L$ относительно $AC$

Значит $D$ лежит на $BCF$

$$\angle LXD = 2 \angle LCF = \angle LCD$$

Из чего $X$ также лежит на окружности $\omega$

$$\angle FXD = \angle FBA = \angle FAD$$

$FAXD$ является параллелограммом

Это дает нач что $MFED$ является параллелограммом так как $MF=DE$

$ME$ проходит через середину $FD$ так как

$$BF=FA=XD$$

Из чего $BFDX$ равнобокая трапеция

Докажем что точки $B, F, E$ лежат на одной прямой

Для этого докажем что

$$\angle BFC = \angle FED$$

$$\angle FED = \angle FMD = 2 \angle YBF = \angle BFC$$

Что доказывает выше поставленное утверждение что точки $B, F, E$ лежат на одной прямой

Из чего $BD, FX, ME$ пересекаются в одной точке

Ч.т.д.

не по идее неправильно

Проверьте еще раз