Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

$p(n)$ арқылы $n$ санының барлық цифрларының көбейтіндісін белгілейік. $p(1000)+p(1001)+\ldots+p(2003)$ есептеңіздер.

Комментарий/решение

$$ p(\overline{abcd})=a\cdot b \cdot c \cdot d$$

$$ a \ne 0, b \ne 0, c\ne 0 , d\ne 0 \Rightarrow a=1 \Rightarrow p(\overline{abcd})=b \cdot c \cdot d$$

$$\textbf{1)} b=1, c=1 \Rightarrow 1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+...+1\cdot1\cdot9=45$$

$$ b=1, c=2 \Rightarrow 2\cdot 45$$

$$ b=1, c=3 \Rightarrow 3\cdot 45$$

$$...............................................................................................$$

$$ b=1,c=9 \Rightarrow 9 \cdot 45$$

$$ 45(1+2+3+...+9)=45\cdot 45$$

$$ \textbf{2)}b=2 , c=1\Rightarrow 2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+...+2\cdot 1\cdot 9=2+4+6+...+18=90$$

$$ b=2 , c=2 \Rightarrow 2(2+4+6+...+18)=90\cdot 2$$

$$ b=2, c=3 \Rightarrow 3(2+4+6+...+18)=90 \cdot 3$$

$$...............................................................................................$$

$$b=2, c=9 \Rightarrow 9(2+4+6+...+18)=90 \cdot 9$$

$$90(1+2+3+..+9)=45\cdot 90 $$

$$...............................................................................................$$

$$ \textbf{9)} b=9 \Rightarrow 9\cdot 45\cdot 45$$

$$ \sum_{k=1000}^{2003}p(k)=45\cdot 44 \cdot 1+45\cdot 44 \cdot 2+...+45\cdot 44 \cdot 9=$$

$$ =45\cdot 45 \cdot (1+2+..+9)=45^3$$

$$ \sum_{i,j,k=1}^{9}ijk=\sum_{i=1}^{9}i\cdot\sum_{j=1}^{9}j\cdot\sum_{k=1}^{9}k=45^3$$