19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровг. Статина, Румыния, 2016 год

Для положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство $$\frac{8}{{{{(a + b)}^2} + 4abc}} + \frac{8}{{{{(b + c)}^2} + 4abc}} + \frac{8}{{{{(c + a)}^2} + 4abc}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge$$ $$\ge \frac{8}{{a + 3}} + \frac{8}{{b + 3}} + \frac{8}{{c + 3}}.$$

Комментарий/решение

Понятно, что $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2) + \frac{1}{2}(b^2 + c^2) + \frac{1}{2}(c^2 + a^2)$. Заметим, что по неравенству Коши $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \leq a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$$ и $$4abc = 2c \cdot 2ab \leq 2c \cdot (a^2 + b^2) = 2c(a^2 + b^2).$$ Тогда получаем, что $$\frac{8}{(a + b)^2 + 4abc} \geq \frac{8}{2(a^2 + b^2) + 2c(a^2 + b^2)} = \frac{4}{(a^2 + b^2)(c + 1)}.$$ Значит $$\sum \limits_{cyc}^{ }{ \frac{8}{(a + b)^2 + 4abc} + \frac{1}{2}(a^2 + b^2)} \geq \sum \limits_{cyc}^{ }{ \frac{4}{(a^2 + b^2)(c + 1)} + \frac{1}{2}(a^2 + b^2)} \geq \sum \limits_{cyc}^{ }{2 \sqrt{ \frac{2}{c + 1}}} \mbox {(По неравенству Коши).}$$ Также: $$c^2 + 1 \geq 2c \Leftrightarrow c^2 + 6c + 9 \geq 8c + 8 \Leftrightarrow \frac{2}{c+1} \geq \frac{16}{(c + 3)^2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{ \frac{2}{c + 1}} \geq \frac{8}{c + 3}.$$ Откуда $$\sum \limits_{cyc}^{ }{2 \sqrt{ \frac{2}{c + 1}}} \geq \frac{8}{a + 3} + \frac{8}{b + 3} + \frac{8}{c + 3}.$$

$(a+b)^2\ge 4ab, \ \ a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}, \ \ \sqrt{2\cdot (c+1)}\le \frac{2+(c+1)}{2}$

теңсіздіктерін пайдаланамыз.

$\frac{8}{{{{(a + b)}^2} + 4abc}}+\frac{a^2+b^2}{2}\ge \frac{8}{(a+b)^2+c(a+b)^2}+\frac{(a+b)^2}{4}=$

$=\frac{8}{(a+b)^2(c+1)}+\frac{(a+b)^2}{4}\ge 2 \sqrt{ \frac{8}{(a+b)^2(c+1)}\cdot \frac{(a+b)^2}{4} } = \frac{4}{\sqrt{2(c+1)}} \ge \frac{8}{c+3}$