Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы острых углов $AP$ и $BQ$, а в треугольниках $ACP$ и $BCQ$ — медианы $CM$ и $CN$ соответственно. Докажите, что сумма углов $CMP$ и $CNQ$ равна сумме углов $MPQ$, $NCM$, и $PQN$.

Комментарий/решение

Пусть $BQ$ пересечет $AP$ в точке $E$, тогда $\angle AEB=135$(так как $\angle {EAB}=\dfrac{\angle A}{2}$;$\angle EBA=\dfrac{\angle B}{2}$; $\angle AEB =180-(\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac {\angle B}{2})=135$.

Откуда $\angle QEP=\angle AEB=135$ как вертикальные. Откуда $\angle PQN+\angle MPQ=180-\angle QEP =45$; Так как $CM$- медиана из прямоугольного угла $C$, то $CM=AM=MP$, аналогично $CN=QN=NB$. Получается , что треугольники $AMC$ и $CNB$- равнобедренные, откуда следует равенства углов: $\angle QCM=\angle MAC$ и $\angle NCB=\angle NBC$. Откуда $\angle MCN=45$, то есть $\angle MPQ +\angle NCM+\angle PQN =90$; $\angle CMP=\angle MAC+\angle QCM =\angle A$(как внешний угол треугольника AMC)

Аналогично $\angle CNQ=\angle B$

То есть $\angle CMP +\angle CNQ =\angle A+\angle B=90$. Получаем $$\angle MPQ +\angle NCM +\angle PQN =\angle CMP +\angle CNQ$$ , что и требовалось доказать