Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, III тур дистанционного этапа

На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Если $a \le b \le c \le d \le e$ — пять из данных чисел, то из сумм $a+d+e$, $b+d+e$, $c+d+e$ две должны делиться на одно и то же из чисел $d$ и $e$. Но разность этих двух сумм равна разности каких-то двух из чисел $a$, $b$, $c$, и потому меньше $d$. Значит, она равна $0$, и, следовательно, среди чисел $a$, $b$, $c$ есть два равных.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Пусть в наборе все числа различны. Возьмем три наименьших числа: $a < b < c$. Рассмотрим любое из оставшихся чисел $x$ и две тройки $\{a, c, x\}$, $\{b, c, x\}$. Обе суммы $a+c+x$ и $b+c+x$ не могут делиться на $c$ одновременно, поскольку разность между второй и первой суммой положительна, но меньше $c$. Значит, хотя бы одна из этих сумм делится на $x$. Но $a+c < 2x$ и $b+c < 2x$, поэтому выполнено одно из равенств $a+c = x$ или $b+c = x$. Получается, что любое число, не входящее в первую тройку, равно сумме двух чисел из этой тройки. Но тогда различных чисел во всём наборе не более шести.

Спасибо админ второе решение более подробное и понятное первого