Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Так как ∠DCB=∠C/2=∠B, DM — медиана, биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике BDC. Опустим из точки M перпендикуляр ME на прямую AB. Тогда ME=MH=MK, откуда K=E. Далее, в прямоугольных треугольниках CHM и BKM сумма углов при вершине M равна 180∘−∠HMK=120∘, откуда получаем, что каждый из углов DCM и DBM равен 30∘. Поэтому в треугольнике ABC∠C=30∘, ∠B=60∘, ∠A=90∘. Осталось заметить, что тогда треугольник ACM — равносторонний, и потому CH⊥AM, откуда и вытекает утверждение задачи.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Рассмотрим треугольники CHM и KMB. В них равны по две стороны и по углу (правда, лежащему не между равными сторонами), причём треугольник CHM прямоугольный. Но треугольники с двумя равными сторонами и равной парой углов могут не быть равными только, если один из них тупоугольный, а другой остроугольный. Значит, треугольники CHM и KMB равны, откуда CH=BK и ∠AKM=∠CHM=90∘. Далее рассуждаем как в первом решении.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.