Processing math: 100%

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры


ABC үшбұрышында C бұрышы B бұрышынан екі есе үлкен, ал CD — үшбұрыштың биссектрисасы. BC қабырғасының ортасы M нүктесінен CD кесіндісіне MH перпендикуляры түсірілген. AB қабырғасында, KMH үшбұрышы теңқабырғалы болатындай, K нүктесі табылған. M, H және A нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Так как DCB=C/2=B, DM — медиана, биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике BDC. Опустим из точки M перпендикуляр ME на прямую AB. Тогда ME=MH=MK, откуда K=E. Далее, в прямоугольных треугольниках CHM и BKM сумма углов при вершине M равна 180HMK=120, откуда получаем, что каждый из углов DCM и DBM равен 30. Поэтому в треугольнике ABCC=30, B=60, A=90. Осталось заметить, что тогда треугольник ACM — равносторонний, и потому CHAM, откуда и вытекает утверждение задачи.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Рассмотрим треугольники CHM и KMB. В них равны по две стороны и по углу (правда, лежащему не между равными сторонами), причём треугольник CHM прямоугольный. Но треугольники с двумя равными сторонами и равной парой углов могут не быть равными только, если один из них тупоугольный, а другой остроугольный. Значит, треугольники CHM и KMB равны, откуда CH=BK и AKM=CHM=90. Далее рассуждаем как в первом решении.

пред. Правка 3   1
9 года 4 месяца назад #

Из треугольника ΔHMC=>HM=CMsinB,из треугольника KM=CMsinBsin(5π62B) . Откуда B=30,то есть треугольник ΔABC прямоугольный,откуда AC=CM,а так как AMC=60;BCA=60,треугольник ΔAMC - равносторонний,то есть все три точки лежат на одной прямой .