Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген $m,n > 1$ натурал сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}} > 1.$

Комментарий/решение

Так как $n,m>1$, то будет выплоняться строгое неравенство по $A.M.\ge G.M$.:

$\frac{m+n}{m}=\frac{(n+1)+(m-1)}{m}=\frac{(n+1)+(1+1+...+1)}{m}=\frac{(n+1)+\underbrace{1+1+...+1}_{m-1}}{m}>\sqrt[m]{n+1}$, из чего следует, что $\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}>\frac{1}{\frac{m+n}{m}}=\frac{m}{m+n}$.

Аналогично получаем $\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}>\frac{n}{m+n}$. Сложив эти два неравенства, получаем требуемое.