Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2013 год

Точка $A_1$ на периметре выпуклого четырёхугольника $ABCD$ такова, что прямая $AA_1$ делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ больше четверти площади $ABCD$. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Проведем диагонали $AC,BD$ и $F \in AC \cap BD$ пусть $A_{1} \in BC$ возьмем $O_{1} \in BD$ такую что $O_{1}A_{1} || AC$ тогда $\dfrac{A_{1}B}{BC} = \dfrac{BO_{1}}{BF}$ или $S_{ABA_{1}} = \dfrac{S_{ABC} \cdot BO_{1}}{BF}$.

По условию $S_{ABA_{1}} = \dfrac{S_{ABCD}}{2}$ значит $\dfrac{S_{ABCD}}{S_{ABC}} = \dfrac{2BO_{1}}{BF}$ или $\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \dfrac{2BO_{1}}{BF}-1$

но $\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \dfrac{DF}{BF}$ откуда $\dfrac{2BO_{1}}{BF}-1 = \dfrac{DF}{BF}$ значит $\dfrac{2BO_{1}}{BF} = \dfrac{BD}{BF}$ то есть $BO_{1}=\dfrac{BD}{2}$ иными словами $O_{1}$ середина $BD$.

Значит остальные точки $B_{1},C_{1},D_{1}$ определяются аналогично, $A_{1}C_{1}$ проходит через $O_{1}$ и $B_{1}D_{1}$ через $O_{2}$ середину $AC$

из построения получается $B_{1}D_{1} || BD, \ A_{1}C_{1} || AC$ тогда если $X \in A_{1}C_{1} \cap B_{1}D_{1}$ учитывая что $\angle A_{1}XB_{1} = \angle CFD$ получается

$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = \dfrac{A_{1}C_{1} \cdot B_{1}D_{1} \cdot \sin \angle A_{1}XB_{1}}{2}$ и $S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD \cdot \sin \angle CFD}{2}$ по условию $S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} > \dfrac{S_{ABCD}}{4}$ или $A_{1}C_{1} \cdot B_{1}D_{1} > \dfrac{AC \cdot BD}{4}$ из подобия $A_{1}C_{1} = \dfrac{A_{1}B \cdot AC}{BC}$ и $B_{1}D_{1} = \dfrac{AB_{1} \cdot BD}{AD}$ подставляя и сокращая $A_{1}B \cdot AB_{1} > \dfrac{BC \cdot AD}{4}$ из подобия $BO_{1}A_{1}, BFC$ и $AO_{2}B_{1}, AFD$ откуда $A_{1}B = \dfrac{BC \cdot BD}{2BF}, \ AB_{1} = \dfrac{AD \cdot AC}{2AF}$ откуда $BD \cdot AC > BF \cdot AF$ что верно, так как $BD > BF, \ AC > AF$ и $ABCD$ - выпуклый