Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2013 жыл

$AC\parallel DF$, $BD\parallel AE$ және $CE\parallel BF$ болатын, $ABCDEF$ дөңес алтыбұрышы берілсін. $A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}+E{{F}^{2}}=B{{C}^{2}}+D{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

С помощью теоремы Карно решается...

Пусть перпендикуляры, проведенные из точек $B,D$ и $F$ к прямым $AC,CE$ и $AE$ соответственно, пересекаются в точке $H$, которая является ортоцентром треугольника $BDF$. Отсюда верно, что $$\begin{gathered}AB^2-BC^2=HA^2-HC^2,\\CD^2-DE^2=HC^2-HE^2, \\EF^2-AF^2=HE^2-HA^2, \\\end{gathered}$$ сложив эти равенства получим, что $$AB^2-BC^2+CD^2-DE^2+EF^2-AF^2=0 \Leftrightarrow AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2.$$