Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс
Комментарий/решение:
1) Теорема: если для четырехугольника WXYZ справедливы равенства
→WX=→ZY;→XY=→WZ;
то такой четырехугольник - параллелограмм
2) Введем систему координат:
A(0;0);B(8a;8b);C(8c;8d);D(8e;0)
Тогда
E(0+8a2;0+8b2)→E(4a;4b)
F(8c+8e2;8d+02)→F(4c+4e;4d)
3) Пусть точка L - середина CE
L(8c+4a2;8d+4b2)→L(4c+2a;4d+2b)
4) Пусть точка M - середина AF
M(4c+4e+02;4d+02)→M(2c+2e;2d)
5) Пусть точка N - середина ED
N(8e+4a2;0+4b2)→N(4e+2a;2b)
6) Пусть точка O - середина BF
O(8a+4c+4e2;8b+4d2)→O(4a+2c+2e;4b+2d)
7) В задаче просят показать, что четырехугольник LMNO− параллелограмм.
Это можно сделать по теореме (1)
→LM=(2c+2e−4c−2a;2d−4d−2b)=(−2c+2e−2a;−2d−2b)
→ON=(4e+2a−4a−2c−2e;2b−4b+2d)=(−2c+2e−2a;−2d−2b)
Понятно, что →LM=→ON
→MN=(4e+2a−2c−2e;2b−2d)=(2e+2a−2c;2b−2d)
→LO=(4a+2c+2e−4c−2a;4b+2d−4d−2b)=(2e+2a−2c;2b−2d)
Понятно, что →MN=→LO
То есть, LMNO− параллелограмм.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.