Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс

В четырехугольнике $ABCD$, где $AB$ и $CD$ непараллельны, точка $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $CD$. Докажите, что середины отрезков $AF$, $CE$, $BF$ и $DE$ являются вершинами параллелограмма.

Комментарий/решение

1) Теорема: если для четырехугольника $WXYZ$ справедливы равенства

$$\overrightarrow{WX} = \overrightarrow{ZY};\;\;\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{WZ};$$

то такой четырехугольник - параллелограмм

2) Введем систему координат:

$$A(0;0);B(8a;8b);C(8c;8d);D(8e;0)$$

Тогда

$$E\left(\dfrac{0+8a}{2};\dfrac{0+8b}{2}\right)\rightarrow E(4a;4b)$$

$$F\left(\dfrac{8c+8e}{2};\dfrac{8d+0}{2}\right)\rightarrow F(4c+4e;4d)$$

3) Пусть точка $L$ - середина $CE$

$$L\left(\dfrac{8c+4a}{2};\dfrac{8d+4b}{2}\right)\rightarrow L(4c+2a;4d+2b)$$

4) Пусть точка $M$ - середина $AF$

$$M\left(\dfrac{4c+4e+0}{2};\dfrac{4d+0}{2}\right)\rightarrow M(2c+2e;2d)$$

5) Пусть точка $N$ - середина $ED$

$$N\left(\dfrac{8e+4a}{2};\dfrac{0+4b}{2}\right)\rightarrow N(4e+2a;2b)$$

6) Пусть точка $O$ - середина $BF$

$$O\left(\dfrac{8a+4c+4e}{2};\dfrac{8b+4d}{2}\right)\rightarrow O(4a+2c+2e;4b+2d)$$

7) В задаче просят показать, что четырехугольник $LMNO - $ параллелограмм.

Это можно сделать по теореме (1)

$$\overrightarrow{LM} = (2c+2e-4c-2a;2d-4d-2b) = (-2c+2e-2a;-2d-2b)$$

$$\overrightarrow{ON} = (4e+2a-4a-2c-2e;2b-4b+2d) = (-2c+2e-2a;-2d-2b)$$

Понятно, что $$\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{ON}$$

$$\overrightarrow{MN} = (4e+2a-2c-2e;2b-2d) = (2e+2a-2c;2b-2d)$$

$$\overrightarrow{LO} = (4a+2c+2e-4c-2a;4b+2d-4d-2b) = (2e+2a-2c;2b-2d)$$

Понятно, что $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{LO}$$

То есть, $LMNO - $ параллелограмм.