Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс


В четырехугольнике ABCD, где AB и CD непараллельны, точка E — середина AB, F — середина CD. Докажите, что середины отрезков AF, CE, BF и DE являются вершинами параллелограмма.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 7 месяца назад #

1) Теорема: если для четырехугольника WXYZ справедливы равенства

WX=ZY;XY=WZ;

то такой четырехугольник - параллелограмм

2) Введем систему координат:

A(0;0);B(8a;8b);C(8c;8d);D(8e;0)

Тогда

E(0+8a2;0+8b2)E(4a;4b)

F(8c+8e2;8d+02)F(4c+4e;4d)

3) Пусть точка L - середина CE

L(8c+4a2;8d+4b2)L(4c+2a;4d+2b)

4) Пусть точка M - середина AF

M(4c+4e+02;4d+02)M(2c+2e;2d)

5) Пусть точка N - середина ED

N(8e+4a2;0+4b2)N(4e+2a;2b)

6) Пусть точка O - середина BF

O(8a+4c+4e2;8b+4d2)O(4a+2c+2e;4b+2d)

7) В задаче просят показать, что четырехугольник LMNO параллелограмм.

Это можно сделать по теореме (1)

LM=(2c+2e4c2a;2d4d2b)=(2c+2e2a;2d2b)

ON=(4e+2a4a2c2e;2b4b+2d)=(2c+2e2a;2d2b)

Понятно, что LM=ON

MN=(4e+2a2c2e;2b2d)=(2e+2a2c;2b2d)

LO=(4a+2c+2e4c2a;4b+2d4d2b)=(2e+2a2c;2b2d)

Понятно, что MN=LO

То есть, LMNO параллелограмм.