Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2007 жыл
Комментарий/решение:
Б.О.О BC>CA>AB.
SA - радикальный центр (ABC),(AB1C1),(A2B1C1). Всем известно, что радикальная ось (ABC),(AB1C1) пересекает B1C1 на BC. Таким же образом определим SB,SC. В итоге получается, что △A1B1C1 перспективен △ABC с центром в ортоцентре, откуда из теоремы Дезарга следует, что SA,SB,SC лежат на одной прямой.
Променелаем треугольник ABC с секущей ¯SASBSC и назовем это соотношение ℵ, который равен по модулю единице.
Заметим 3 пары подобных треугольников SAA2B и SACA2 и остальные две аналогичные.
Тригонометрическая теорема Чевы:
Диагонали вписанного шестиугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведения сторон через раз равны (то есть произведение первой, третьей и пятой по порядку равно произведению второй, четвертой и шестой).
Поэтому требуется показать, что BA2⋅CB2⋅AC2CA2⋅AB2⋅BC2=1.
Из подобий получаем, что BA2CA2=SAA2SAC=√SAB⋅SACSAC=√SABSAC и два остальных выражения. Перемножим их:
√SAB⋅SBC⋅SCASAC⋅SBA⋅SCB=√|ℵ|=1,
что и надо было.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.