Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2001 жыл


Теңбүйірлі ABC (AC=BC) үшбұрышының AB қабырғасында, PCQ12ACB болатындай P және Q нүктелері алынған. PQ12AB теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Фольклор )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 1 месяца назад #

Вы будете таки удивлены, но координат на этот раз нет. Зато есть немного тригонометрии и анализа

0)Пусть точка O середина AB.

1)Так как ΔABC равнобедренный, то AOC=BOC=90

2)Зафиксируем точку P в произвольном месте, пусть выполняется PAO,QPB

3)Докажем, что увеличение угла PCQ увеличивает и длину PQ

4)Пусть PO=k;PQ=PO+QO=k+QO

5)Пусть PCO=α, тогда OCQ=PCQα, где α=const, в силу фиксированности точек P,C,O

6)Пусть OC=m=const, тогда

QOOC=tanOCQ

QO=OCtanOCQ=mtan(PCQα)

7)Итого,

PQ=k+mtan(PCQα)

Очевидно, что f(x)=k+mtan(xα) монотонно возрастает на всей области определения. То есть, (3) - доказано

8)Так как функция PQ=f(x) монотонно возрастающая, то на отрезке [a;b] значение f(b) будет наибольшим. А это значит, что

PQmax=f(PCQmax)=f(12ACB)

9)То есть,

PQmax=k+mtan(12ACBα)

10)Пусть AB=2a. Рассчитаем соответствующие тангенсы

tan(12ACB)=AOOC=am

tanα=POOC=km

tan(12ACBα)=tan(12ACB)tanα1+tan(12ACB)tanα=amkm1+amkm

tan(12ACBα)=m(ak)m2+ak

11)Заключительная часть решения. Сравним PQmax и 12AB. Предварительно поставим желаемый знак сравнения.

PQmax=k+mm(ak)m2+ak12AB=a

k+m2am2+akm2km2+aka

k[1m2m2+ak]a[1+m2m2+ak]

Учтем, что ka (иначе точка P выйдет за пределы треугольника)

k[1m2m2+ak]a[1m2m2+ak]a[1+m2m2+ak]

Последняя цепочка неравенств верна

пред. Правка 2   3
3 года 1 месяца назад #

Пусть ω окружность с радиусом CA , D середина AB , пусть PAB, QAB такая что ACP=DCQ тогда ACB2=ACD=PCQ если AωCQ , если EωCP,LωCD пусть AHCE, NAHCL тогда AN=AP .

Утверждение : DQAP

Доказательство : PCD=a, QCD=b тогда DQA=90+b, CAH=90ab тогда DQA>CAH (1) так как 2a+b>0 , но тогда если NM||AB и MCA тогда по (1) тогда DQ<NM<AN=AP

Задача: так как PCQACB2=ACD , значит точка Q лежит между P,Q

Если QPD тогда AB2=AD=AP+PD>PD>PQ

Если QDQ тогда AB2=AD=AP+PDDQ+PDDQ+PD=PQ

Рисунок

  2
3 года 1 месяца назад #

Matov, можете подсказать, что за точки H и E? Их берем произвольно?