Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2001 жыл

Турнирге 16 шахматшы қатысты. Әрбір екі шахматшы тек бір ойын ойнады. Жеңіс үшін 1 ұпай, жеңіліс үшін 0 ұпай, ал тең ойын үшін $0,\!5$ ұпай берілді. 15 шахматшы бірінші орынды бөліскендігі анықталды. 16-ыншы шахматшының жинаған ұпайы қанша болуы мүмкін? ( Ю. Лифшиц )

Комментарий/решение

пусть первые 15 шахматистов набрали по x очков а последний набрал y очков (x>y),партий было сыграно 16*7,5=8*15, значит 15x+y=8*15 следовательно $15a\leq8*15$ и 16x>15x+y таким образом 7,5<x$\leq8$ и получаем x=8 и y=0

значит последний игрок набрал 0 очков

Әрбір шахматшыны графтың төбесі ретінде қойсақ $16$ төбеден тұратын толық граф болады. $n$ төбесі бар толық графтың $\frac{n(n-1)}{2}$ қабырғасы болады. Сонда барлығы $\frac{16*(16-1)}{2}=120$ ойын болған. Барлығы $1*120=120$ ұпай ойнатылған. Әрбір шахматшы $15$ ойын ойнаған.

Егер бір айналымды турнирде бір ойыншыдан басқа ойыншылар бірдей ұпай жинаған болса, бұл жағдайда сол бір ойыншы қалған барлық ойыншыны жеңген болады немесе қалған барлық ойыншыдан жеңілген болады. Біздің жағдайда $15$ ойыншы бірдей ұпай жинаған және $16$ ойыншы соңғы орында. Демек $16$-шы ойыншы басқа $15$ ойыншыдан жеңілген. Онда $16$-шы ойыншы ұпай алмаған. Қалған $15$ ойыншы $120$ ұпайды теңдей бөліп алады. $120:15=8.$ $15$ ойыншының әрқайсысы $8$ ұпайдан жинаған.