Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2015 год

Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $XY$ и $A_1B_1$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Точки $A_1$, $B_1$, $X$, $Y$ лежат на h_окружности девяти точек@https://ru.wikipedia.org/wiki/Окружность_девяти_точек_h, причем центр окружности лежит на прямой $XY$ ($\triangle XC_1Y$ - прямоугольный вписанный, где $CC_1$ - высота). Точки $A_1$, $B_1$, $H$, $C$ лежат на одной окружности с центром в точке $Y$ ($\triangle A_1HC, \triangle B_1HC$ - прямоугольные вписанные). Тогда $A_1B_1$ - общая хорда, значит $AB \perp XY$.

Соеденим $B_1Y$ и $A_1Y$, они оба равны $\frac{HC}{2}$, соеденим $B_1X$ и $A_1X$, они равны $\frac{AB}{2}$, выходит что $A_1XB_1Y$ - kite, т.е. $XY$ делит $A_1B_1$ попалам и они перпендикулярны

Спасибо за решение, мне это помогло.

жду других решений, но чтобы был легкий способ плиз :)

Заметим, что $A_1B_1$ является прямой Обера четырехсторонника прямых $(CA,CB,AA_1,BB_1)$ (так как $AA_1\bot BC$ и $BB_1\bot AC$), а $X,Y$ - середины его диагоналей (то есть $XY$ - уго прямая Гаусса). Следовательно, по теореме Гаусса-Боденмиллера выходит, что $XY\bot A_1B_1$.