Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2015 жыл

Теңдеуді шешіңдер: ${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}=1$.

Комментарий/решение

$x^4+x^2+1=x^2+1$

$x^4=0$

$x=0$

Немного другой, пусть и более муторный и не очевидный, но интересный путь решения

$x^2+\frac{1}{x^2+1}=1$

$x^2+1-2+\frac{1}{x^2+1}=0$

$(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})^2=0$

$x^2+1=1$

$x=0$

если знать, что сумма обратных равна двум тогда и только тогда, когда они равны по 1, то получается немного бытрее