Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 сынып
Известно, что a4b3+b4c3+c4a3=a3b4+b3c4+c3a4. Найдите значение выражения (a−b)(b−c)(c−a).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 0.
Преобразовав данное условие в задаче, получим
0=a4b3+b4c3+c4a3−a3b4−b3c4−c3a4=
=(a−b)(b−c)(c−a)(a2b2+b2c2+c2a2+abc(a+b+c))=
=12(a−b)(b−c)(c−a)(a2(b+c)2+b2(c+a)2+c2(a+b)2).
Заметим, что выражение S=a2(b+c)2+b2(c+a)2+c2(a+b)2 равно нулю, только при a=b=c=0. В этом случае искомый ответ, очевидно равен 0. В остальных случаях S≠0. Поэтому (a−b)(b−c)(c−a)=0, так как
12(a−b)(b−c)(c−a)⋅S=0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.