Решения: Городские олимпиады, Городская олимпиада «Аль-Фараби»

Известно, что

a^{4} b^{3} + b^{4} c^{3} + c^{4} a^{3} = a^{3} b^{4} + b^{3} c^{4} + c^{3} a^{4}

${{a}^{4}}{{b}^{3}}+{{b}^{4}}{{c}^{3}}+{{c}^{4}}{{a}^{3}}={{a}^{3}}{{b}^{4}}+{{b}^{3}}{{c}^{4}}+{{c}^{3}}{{a}^{4}}$ . Найдите значение выражения

(a - b) (b - c) (c - a)

$\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 0.
Преобразовав данное условие в задаче, получим

0 = a^{4} b^{3} + b^{4} c^{3} + c^{4} a^{3} - a^{3} b^{4} - b^{3} c^{4} - c^{3} a^{4} =

$0={{a}^{4}}{{b}^{3}}+{{b}^{4}}{{c}^{3}}+{{c}^{4}}{{a}^{3}}-{{a}^{3}}{{b}^{4}}-{{b}^{3}}{{c}^{4}}-{{c}^{3}}{{a}^{4}}=$

= (a - b) (b - c) (c - a) (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + a b c (a + b + c)) =

$=(a-b)(b-c)(c-a)({{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc(a+b+c))=$

= \frac{1}{2} (a - b) (b - c) (c - a) (a^{2} {(b + c)}^{2} + b^{2} {(c + a)}^{2} + c^{2} {(a + b)}^{2}) .

$=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)({{a}^{2}}{{(b+c)}^{2}}+{{b}^{2}}{{(c+a)}^{2}}+{{c}^{2}}{{(a+b)}^{2}}).$ Заметим, что выражение

S = a^{2} {(b + c)}^{2} + b^{2} {(c + a)}^{2} + c^{2} {(a + b)}^{2}

$S=a^2{(b+c)}^{2}+{{b}^{2}}{{(c+a)}^{2}}+{{c}^{2}}{{(a+b)}^{2}}$ равно нулю, только при

a = b = c = 0

$a=b=c=0$ . В этом случае искомый ответ, очевидно равен 0. В остальных случаях

S \neq 0

$S \ne 0$ . Поэтому

(a - b) (b - c) (c - a) = 0

$\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)=0$ , так как

\frac{1}{2} (a - b) (b - c) (c - a) \cdot S = 0.

$\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a) \cdot S=0.$