Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 сыныпы

Определите количество наборов $(a,b,c,d,e,f)$ натуральных чисел, для которых справедливо $a > b > c > d > e > f$ и $$a+f=b+e=c+d=30 \ ?$$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $C_{14}^3=364$.
Заметим, что после выбора числа $f$, число $a$ найдется автоматический. Это также действует для пар $(b,e)$ и $(c,d)$. Также из условия задачи понятно, что $d \leq 14$. Так как в противном случае имели бы неравенства $d \geq 15$, $c > d \geq 15$, $c+d > 30$. Последнее неравенство противоречит условию.
Итак, имеем $1\le f < e < d \le 14$. Отсюда понятно, что выбрать тройку $f,e,d$ можно $C_{14}^3=364$ способами.