19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Белград, Сербия, 2015 год

Сумма трех положительных вещественных чисел $a$, $b$, $c$ равна $3$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $$ A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}.$$

Комментарий/решение

$\textbf{Решение №1}$

$$A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-a^2-b^2-c^2=$$

$$=2\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \Big)+2ab+2bc+2ac-(a+b+c)^2= $$

$$=2\Big(\frac{ab+bc+ac}{abc}\Big)+2(ab+bc+ac)-9=2(ab+bc+ac)\Big(\frac{1}{abc}+1\Big)-9\geq$$

$$\geq \frac{4(ab+bc+ac)}{\sqrt{abc}}-9= \frac{12(ab+bc+ac)}{\sqrt{3abc(a+b+c)}}-9\geq 12-9=3 $$

$\textbf{Замечание.}$ На последнем шаге мы использовали известное неравенство $(*)$, которое легко доказывается

$$ab+bc+ac\geq \sqrt{3abc(a+b+c)} \qquad \qquad (*)$$

$$ (ab+bc+ac)^2-abc(ab+bc+ac)=\frac{1}{2}\Big((ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2\Big)\geq 0.$$

$$A=\sum \limits_{cyc}^{ }{\bigg(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ab \bigg)}+\sum \limits_{cyc}^{}{ab}-9\ge 9+3-9\ge 3$$

$\textbf{Решение №2}$ Фиксируя переменную $a$, рассмотрим рассмотрим два случая:

$\textbf{Случай №1}$ Пусть $a\leq 2.$ Обратимся к вспомогательному неравенству

$$ \forall x\in (0;2]: \qquad \frac{(x-1)^2(2-x)}{x}\geq 0 \Longleftrightarrow \frac{2-x^3}{x}\geq 5-4x \qquad \qquad (1)$$

Применяя неравенство (1), получим

$$A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}\geq (5-4a)+(5-4b)+(5-4c)=15-4(a+b+c)=15-4\cdot 3=3.$$

Поскольку неравенство $(1)$ верно для рассматриваемого интервала $(x\in(0;2])$, фактически, последнее полученное значение является наименьшим значением выражения $A$.

$\textbf{Случай №2}$ Пусть $3-\varepsilon^2\geq a\geq 2.$ Тогда $b+c=3-a\leq 1 \Rightarrow b\leq1-c$ и $\frac{2-(3-\varepsilon^2)^3}{3-\varepsilon^2}\leq\frac{2-a^3}{a}\leq -3$.Имеем грубую оценку снизу

$$A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}\geq \frac{2-(3-\varepsilon^2)^3}{(3-\varepsilon^2)} +\frac{16-\varepsilon^6}{2\varepsilon^2}>3$$

A=((2-a^3)/a)+((2-b^3)/b)+((2-c^3)/c)=(2bc-a^3bc+2ac-ab^3c+2ab-abc^3)/abc=((2(ab+bc+ac))/abc)-((abc(a^2+b^2+c^2))/abc)=(2(ab+bc+ac)/abc)-(a^2+b^2+c^2)=

2((1/c)+(1/b)+(1/a))-(a^2+b^2+c^2). a+b+c>=3*(abc)^1/3 ,a+b+c=3 =>3>=3*(abc)^1/3 =>abc<=1

(3a^2+3b^2+3c^2)^1/2>=a+b+c,a+b+c=3 => (3a^2+3b^2+3c^2)>=9 =>a^2+b^2+c^2>=3

(1/a)+(1/b)+(1/c)>=3*(1/abc)^1/3.abc<=1 => 1/abc>=1 =>(1/a)+(1/b)+(1/c)>= 3*(1)^1/3=3

A=2((1/a)+(1/b)+(1/c))-(a^2+b^2+c^2)>=2*3-3=3 (Пример: при a=b=c=1 (1/a)+(1/b)+(1/c) принимает наименьшее значение равное 3 и при тех же a=b=c=1 a^2+b^2+c^2 принимает наименьшее значение равное 3)