Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам

Бізге $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ функциясы берілген, мұнда $\mathbb{Z}$ бүтін сандар жиынын, ал $\mathbb{N}$ оң бүтін сандар жиынын белгілейді. Кез келген бүтін $m$ және $n$ сандары үшін $f(m)-f(n)$ айырмасы $f\left( m-n \right)$ санына қалдықсыз бөлінетіні белгілі. Кез келген $m$ және $n$ бүтін сандары үшін, егер $f(m)\le f(n)$ болса, онда $f(n)$ саны $f(m)$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

У нас есть $f(m-n)|f(m)-f(n)$, установка $n=0$ дает $f(m)|f(0)$, установка $m=0$, мы получаем $f(-n )|f(n)$, подразумевая $f(n)|f(-n)$, следовательно, $f(-n)= f(n)$ . Это дает $f(m+n)|f(m)-f (n)$ , Если $f(n)\geq f(m)$ имеем $f(m+n)\leq f(n)-f(m)$. Далее $f(n)|f(m +n)-f(m)$. Это означает, что мы можем иметь $(i) f(n)\leq f(m+n)-f(m)$, но из предыдущего неравенства $f(m+n)+ f(m)\leq f(n)\leq f(m+n)-f(m)$, что означает, что $2f(m)\leq 0$ явно невозможно. Мы рассматриваем случай $(ii) f(n)\ leq f(m)-f(m+n)$, но это с $f(n)\geq f(m)$ дает $f(m)+f(m+n)\leq f(n) +f(m+n)\leq f(m)$, что дает $f(m+n)\leq 0$, опять же невозможно. Последний случай $(iii)$ и единственная возможность - $f(m+ n)= f(m)$. Но мы имеем $f(m)|f(m+n)-f(n)$, подразумевая $f(m)|f(m)-f(n)$. Следовательно, мы должны иметь $f(m)|f(n)$

Красавчик

У вас после "это означает, что мы можем иметь" идёт ошибка решение не верно?

Или я ошибаюсь можете объяснить