Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам
R нақты сандар жиынында анықталған және осы жиында мәндерін қабылдайтын f:R→R функциясы кез келген нақты x және y сандары үшін f(x+y)≤yf(x)+f(f(x)) теңсіздігін қанағаттандырады. Кез келген x≤0 үшін f(x)=0 болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение:
Предположим, что f(x)≤0 для всех x≤0. (∗)Тогда по условию задачи имеем
f(f(x))=f(f(x)−x+x)≤(f(x)−x)f(x)+f(f(x))⇒(f(x)−x)f(x)≥0(1)
Так как f(x)≤0 для всех x≤0 , то из неравенства (1) вытекает неравенство (2).
f(x)−x≤0⇒f(x)≤x(2)
Домножим обе части неравенства (2) на положительное число −x и получаем
−xf(x)≤−x2∀x<0(3).
Теперь оценим значение функции при x=0
f(0)=f(x−x)≤−xf(x)+f(f(x))≤(2)−xf(x)+f(x)≤(∗)−xf(x)≤(3)−x2⇒ ⇒f(0)≤−x2(4).
Существует x0∈(−∞,0] такое, что f(x0)=0. Используя условию получим
0=f(x0)=f(x0+0)≤f(f(x0))=f(0)⇒0=f(x0)≤f(0)(5).
Из (4),(5) следует, что
0≤f(0)≤−x2≤0⇒f(0)=0.
При y=−x из условии задачи следует что
0=f(0)=f(x+(−x))≤−xf(x)+f(f(x))≤(2)−xf(x)+f(x)≤(∗)−xf(x)⇒f(x)≥0∀x≤0
∀x≤0:0≤f(x)≤(∗)0⇒f(x)=0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.