Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам


R нақты сандар жиынында анықталған және осы жиында мәндерін қабылдайтын f:RR функциясы кез келген нақты x және y сандары үшін f(x+y)yf(x)+f(f(x)) теңсіздігін қанағаттандырады. Кез келген x0 үшін f(x)=0 болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 11 месяца назад #

Решение:

Предположим, что f(x)0 для всех x0. ()Тогда по условию задачи имеем

f(f(x))=f(f(x)x+x)(f(x)x)f(x)+f(f(x))(f(x)x)f(x)0(1)

Так как f(x)0 для всех x0 , то из неравенства (1) вытекает неравенство (2).

f(x)x0f(x)x(2)

Домножим обе части неравенства (2) на положительное число x и получаем

xf(x)x2x<0(3).

Теперь оценим значение функции при x=0

f(0)=f(xx)xf(x)+f(f(x))(2)xf(x)+f(x)()xf(x)(3)x2 f(0)x2(4).

Существует x0(,0] такое, что f(x0)=0. Используя условию получим

0=f(x0)=f(x0+0)f(f(x0))=f(0)0=f(x0)f(0)(5).

Из (4),(5) следует, что

0f(0)x20f(0)=0.

При y=x из условии задачи следует что

0=f(0)=f(x+(x))xf(x)+f(f(x))(2)xf(x)+f(x)()xf(x)f(x)0x0

x0:0f(x)()0f(x)=0