Processing math: 100%

Математикадан 52-ші халықаралық олимпиада, 2011 жыл, Амстердам


Әртүрлі төрт оң бүтін саннан тұратын A={a1,a2,a3,a4} жиыны үшін sA арқылы a1+a2+a3+a4 қосындысын белгілейік. Сонан соң nA арқылы мына шартты қанағаттандыратын (i,j) парларының (1i<j4) санын белгілейік: sA саны ai+aj санына қалдықсыз бөлінеді. Әртүрлі төрт оң бүтін саннан тұратын және nA санын максимал мүмкін мәнге жеткізетін барлық A жиынын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 11 месяца назад #

Покажем, что nA4.

В самом деле способов выбрать пару индексов из 4 это C24=6. Причем если a1<a2<a3<a4 то, sA2<a2+a4,a3+a4<sA. Значит nA4.

Пусть nA=4. Так как a1+a4|sAa1+a4|a2+a3a1+a4a2+a3. Аналогично a2+a3a1+a4. Тогда a2+a3=a1+a4. Пусть a1=x,a2=x+b,a3=x+a,a4=x+b+a, где a>b. Тогда выписывая оставшиеся сравнения получаем, что 2x+a|2b,2x+b|2a. Заметим, что частное в обоих выражениях не больше 3, причем одновременно не больше двух. Так как a>b, то у нас есть всего три случая.

Если 2x+a=2b,2x+b=2aa=b=2x, противоречие.

Если 2x+a=4b,2x+b=2ab=4x,a=6x. Тогда A={k,5k,7k,11k}.

Если 2x+a=6b,2x+b=2ab=10x,a=18x. Тогда A={k,11k,19k,29k}.