47-я Международная Математическая OлимпиадаСловения, Любляна, 2006 год

Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство $|ab({{a}^{2}}-{{b}^{2}})+bc({{b}^{2}}-{{c}^{2}})+ca({{c}^{2}}-{{a}^{2}})|\le M{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}$ выполняется для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$.

Комментарий/решение

Б.О.О. $\ a \geq b \geq c$

$$\left | a^3b - ab^3 + b^3c - bc^3 + ac^3 - a^3c \right | = \left | ab(a^2-b^2) + ac(c^2-a^2) + bc(b^2 -c^2) \right | \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$$

$$a^3b - c^3b = b(a-c)(a^2+ac+c^2) \quad \quad \quad b^3c - b^3a = b^3(a-c) \quad \quad \quad ac^3 - a^3c = -ac(a-c)(a+c)$$

Аналогичное можно выполнить и для $: \: (c-b), \ (b-a) \ $ пусть $: \ LHS = s(a-c)(c-b)(b-a) \ $ несложно добиться равенства $: \ s = a+b+c$

$$(3a^2+3b^2+3c^2)^2 =\left ( 2(a-b)^2 + 2(c-b)(c-a) + (a+b+c)^2 \right )^2 \geq \left (4 \sqrt[4]{2(b-a)^2(c-b)^2(a-c)^2(a+b+c)^2} \right )^2$$

$$M(a^2+b^2+c^2)^2 \geq \dfrac{M}{9} \cdot 16\sqrt{2} \cdot \left | (a+b+c)(b-a)(c-b)(a-c) \right | \geq \left | (a+b+c)(b-a)(c-b)(a-c) \right | \ \Leftrightarrow \ M \geq \dfrac{9}{16\sqrt{2} }$$

Случай равенства достигается при $a = 2\sqrt{2} + 6 \quad \quad b= 2\sqrt{2} \quad \quad c = 2\sqrt{2}-6 \quad$ так как случай равенства существует выходит что $\ \dfrac{9}{16\sqrt{2}} \ $ минимально

Попрошу прощения у людей которые смотрят с телефона